Boletín de ficom no. 9

Boletín de FICOM
A n t e s B o l e t í n d e l C o n c u r s o d e P r i m a v e r a p a r a M a e s t r o s
F E D E R A C I Ó NI B E R O A M E R I C A N AD E C O M P E T I C I O N E S C o m i t é E d i t o r i a l : J a v i e r A l f a r o , C a r l o s B o s c h , Ó s c a r C h á v e z , I ñ a q u i d e O l a i z o l a , A l i c i a E s c a l e r a , M a r c e l a G o n z á l e z .
Ideas felices en la resoluci´
on de problemas
Formamos la secuencia de las 25 casillas del ta- pantes de olimp´ıadas matem´aticas la frase feliz blero. C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15 idea para describir esas ideas que transforman un problema imposible de resolver en una rutina de ballos ocupan casillas consecutivas de la se- cuentas simples que cualquiera puede hacer.
cuencia, se amenazan. Si los caballos no de- Un buen problema de olimp´ıadas siempre requiere una idea no rutinaria. Pero nunca es imprescindi- de caballos que se pueden colocar es 13, ocu- ble la feliz idea, porque el tiempo de la pruebas es pando los t´erminos impares de esta secuencia.
escaso, y el ganador es el que resuelve correctamen-te la mayor cantidad de problemas, aunque sus so- luciones no sean bellas. Por lo tanto, es sorprenden- te que surjan estas felices ideas durante una prueba prendernos es Fernando Pastawski, nacido en 1982.
Aqu´ı mostramos algunas ideas que nos regal´ nando, elaboradas en tiempo de prueba. Problema 1. (Pretorneo de las Ciudades, 1998) En
Feliz idea 1. Formar la secuencia (con un n ´
un tablero de 5 × 5, del tipo del tablero de ajedrez, impar de t´erminos) de las casillas que recorre el pa- ballos de modo tal que no haya dos que se amena- Problema 2. (Olimp´ıada Matem´
atica Argentina,
cen. Demostrar que hay una sola ubicaci´ 1998) La compa ˜
para transportar varios containers con un peso to-tal de 50 toneladas. Cada container pesa a lo su- Soluci´
on. Podemos lograr que
ca de cu´al es la cantidad de containers; no se sa- be si los containers son todos iguales ni se sabecu´anto pesa cada uno. La carga total ser´a distri- 5 × 5. Numeramos las casillassiguiendo el recorrido del ca- buida en varios camiones, cada uno con capacidad m´axima para 5 toneladas, que har´an un viaje cada la carga ser´a transportada como corresponde? Soluci´
on. Llamemos p al n ´
Soluci´
on. Representemos a los containers co-
a su peso. Si colocamos estos segmentos so- tenemos un segmento mayor, de medida 50.
l´ınea une entre s´ı a tres de estos pares (si las paradas de una l´ınea son A, B, C, entonces esa l´ınea une Ay B, A y C, B y C).
Como todo par de l´ıneas tiene una parada encom ´ un, si fijamos una de las l´ıneas, todas las dem´as Dividimos el segmento mayor en 10 partes igua- les, haciendo 9 marcas. Si una marca cae dentro da y dos paradas que no pertenecen a la l´ınea fijada.
Hay p − 3 paradas que no pertenecen a la l´ınea fija- segmento. De este modo, separamos a lo sumo 9 segmentos. Los containers que corresponden a los segmentos que separamos pueden distribuirse en a para unir todos los pares de paradas que no est´an lo sumo dos camiones, 5 en uno y 4 en otro. El resto en la l´ınea fijada. No hay m´as l´ıneas que estas y la de los containers pueden distribuirse en 10 camio- nes, el primero con los containers que correspon-den a los segmentos ubicados antes de la primera marca, el segundo con los containers que corres- ponden a los segmentos ubicados entre la primera on equivale a 2p2 − 20p + 42 = 0, cuyas y la segunda marca, etc. Utilizamos as´ı a lo sumo soluciones son p = 7 y p = 3. Las dos son posibles.
2 + 10 = 12 camiones. Es imposible garantizar eltraslado con menos camiones. Por ejemplo, si hay on puede llevar un m´aximo de 7 containers, Feliz idea 3. Es usual en es-
por lo que son necesarios al menos 12 camiones.
Feliz idea 2. Visualizar los pesos de los containers
algo de dos maneras diferentes, para sacar conclu- Problema 4. (Rioplatense, 1998) Un tablero cua-
Problema 3. (Cono Sur, 1998) El alcalde de una ciu-
driculado de m × n se ha cubierto completamen- dad desea establecer un sistema de transportes con 2 × 1), que no se solapan ni sobresalen de los bor-des del tablero. Se consideran los cuadrados de ta- cada l´ınea pase exactamente por tres paradas; no 2 × 2 formados por cuatro casillas del tablero.
cada dos l´ıneas distintas tengan exactamente brean cada cuadrado de 2 × 2 puede ser 2, 3 ´ haya exactamente una l´ınea que pase por am- por exactamente dos piezas es mayor que el n ´ ro de cuadrados sombreados por cuatro piezas.
pueda recorrer el conjunto de las casillas marcadas, Soluci´
on. Por cada pieza de
es necesario que haya al menos 2n − 1 lados inte- riores. Cada lado interior puede tener orientaci´ horizontal o vertical. Por el principio del palomar, entre los 2n − 1 lados interiores, hay al menos n con En esta cuenta, los cuadradossombreados por exactamente Si trazamos todos los lados y lados interiores delpol´ıgono determinado por el conjunto de las casi- llas marcadas, dividimos al conjunto en 2n cuadra- dos unitarios. Cada vez que quitamos un lado inte- han contado cuadrados ficticios, con dos de sus ca- rior vertical, desaparecen dos rect´angulos de la for- sillas afuera de los l´ımites del tablero.
ma 1 × k y 1 × q, y aparece un nuevo rect´angulo dela forma 1 × (k + q). Es importante ver que por este Llamemos n2, n3, n4 al n ´umero de cuadrados som- procedimiento s´olo se obtienen figuras de la forma breados por 2, 3, 4 piezas, respectivamente. Sea e1 1 × m, lo que es cierto inicialmente, con la partici´ umero de cuadrados sombreados por 2 piezas, en cuadrados unitarios. Cada vez que quitamos un que se han contado dos veces, y e2 el n ´umero de lado interior vertical, la cantidad de rect´angulos se cuadrados ficticios que se han contado. El n ´ reduce en 1. Al quitar n lados interiores verticales, · 2 − e1 − e2. Es claro que e1 es igual a Feliz idea 5. Tener la osad´ıa de intentar la des-
piezas que cubren dos casillas del borde del tablero: Patricia Fauring — Flora Guti´errez Cilindros con la misma superficie lateral:
¿qu´e pasa con el volumen?
del tablero es (m − 1)(n − 1), de donde lumen del cilindro al cambiar el radio y la altura mientras se mantiene constante el ´area de la super-ficie laterEn matem´aticas es importante apren- der a hacer razonamientos acerca de las cantida- des involucradas en los problemas, y no solamente Feliz idea 4. Asociar a cada domin´
sombreados por dos o tres piezas, sin prestar aten- on a lo que ocurre con los cuadrados sombrea- braica nos permite ver con mayor claridad la rela- dos por cuatro piezas. Una vez m´as, est´a presente on entre las cantidades, y entender el porqu´e de la idea de contar la misma cosa de dos maneras dis- un resultado que a primera vista resulta sorpren- Problema 5. (Torneo de las Ciudades, 1999) En un
Materiales. Hojas de papel tama ˜
tablero gigante de ajedrez se han marcado 2n casi- hesiva, material de empaque o palomitas de ma´ız, llas de modo que la torre puede llegar a todas las casillas marcadas sin necesidad de pasar por algu- na casilla que no est´e marcada. Demostrar que la la longitud del lado corto y b a la longitud del la- figura formada por las casillas marcadas se puede do largo. Forma con la hoja un cilindro uniendo los lados largos del rect´angulo. Ahora corta una hoja Soluci´
on. Llamamos lado a la frontera entre dos ca-
sillas adyacentes, y lado interior a la frontera entre go). Extiende los dos rect´angulos y pega uno junto dos casillas marcadas adyacentes. Para que la torre al otro, para formar una sola tira rectangular. Con 1Este art´ıculo est´a basado en parte en material presentado por Glenda Lappan en la sesi´on inaugural de la reuni´on anual del National Council of Teachers of Mathematics, Chicago, abril de 2000.
esta tira de la mitad de alto y doble de largo se for- 2. As´ı, en principio, con la misma superficie lateral, ma un cilindro chaparro y ancho (figura 1). El cilin- dro est´a formado por la misma cantidad de papel, des como queramos. Este resultado es sorprenden- simplemente pegado de otra forma, por lo que la te y fascinante para muchos alumnos. El volumen superficie lateral es igual. En el primer caso la su- perficie lateral es a×b, y en el segundo caso 2a×b/2,de modo que son iguales. Pon el nuevo cilindro al- rededor del primero. Llena el cilindro alto de mate-rial de empaque o de palomitas de ma´ız. Al retirar el cilindro alto el contenido se vac´ıa en el otro, y ve- ¿Por qu´e se ven iguales? Nues-
Figura 1. Cilin-
Tabla 1. Relaciones entre las cantidades.
¿Por qu´e son diferentes los vol ´
umenes? El radio
Nota que en esta actividad trabajamos con cilin- dros sin tapa. Si bien la superficie lateral se mantie- ne constante, las tapas que faltan tienen ´areas cada vez m´as grandes conforme el cilindro se hace m´as chaparro. Un problema muy diferente es estudiar dro tendr´a un radio dos veces m´as grande, omo cambia el volumen de los cilindros mientras se mantiene constante toda la superfice exterior del cilindro, esto es, contando la superficie lateral y las dos tapas. En el caso de incluir las dos tapas, el vo- grande que para el cilindro anterior, y aunque la olo se tendr´an un intervalo de valores posi- altura se redujo a la mitad, el volumen es igual a bles, dentro del cual se alcanza un m´aximo.
Conclusi´
on. Una ventaja de estas actividades es
que los alumnos, sorprendidos por los resultados, Repite el proceso de formar un cilindro con la mis- men del cilindro, as´ı como el an´alisis de las canti- ma superficie lateral pero la mitad de alto. Cor- dades involucradas, y el uso de s´ımbolos algebrai- ta una hoja en cuatro franjas, y pega los cuatro rect´angulos para formar una tira de largo 4a y al- los alumnos aprendan a tratar con las cantidades tura b/4. Forma un nuevo cilindro, y ver´as que ´este como objetos matem´aticos que tienen inter´es por tiene un volumen todav´ıa m´as grande. El nuevo ra- que operamos para obtener un resultado.
Glenda T. Lappan — Alfinio Flores Pe ˜ otra vez el doble que el anterior. Vemos as´ı que ca-da vez que formamos un nuevo cilindro del doblede ancho y la mitad de alto, el volumen se duplica.
Puedes encontrar el Bolet´ın de FICOM en Internet: Esperamos tus comentarios y sugerencias sobre es- nes por medio de letras nos permite ver por qu´e el volumen se incrementa cada vez por un factor de

Source: http://zeta.math.utsa.edu/~hvz231/ficom9.pdf