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Boletín de ficom no. 9

Boletín de FICOM
A n t e s B o l e t í n d e l C o n c u r s o d e P r i m a v e r a p a r a M a e s t r o s
F E D E R A C I Ó NI B E R O A M E R I C A N AD E C O M P E T I C I O N E S C o m i t é E d i t o r i a l : J a v i e r A l f a r o , C a r l o s B o s c h , Ó s c a r C h á v e z , I ñ a q u i d e O l a i z o l a , A l i c i a E s c a l e r a , M a r c e l a G o n z á l e z .
Ideas felices en la resoluci´
on de problemas
Formamos la secuencia de las 25 casillas del ta- pantes de olimp´ıadas matem´aticas la frase feliz blero. C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15 idea para describir esas ideas que transforman un problema imposible de resolver en una rutina de ballos ocupan casillas consecutivas de la se- cuentas simples que cualquiera puede hacer.
cuencia, se amenazan. Si los caballos no de- Un buen problema de olimp´ıadas siempre requiere una idea no rutinaria. Pero nunca es imprescindi- de caballos que se pueden colocar es 13, ocu- ble la feliz idea, porque el tiempo de la pruebas es pando los t´erminos impares de esta secuencia.
escaso, y el ganador es el que resuelve correctamen-te la mayor cantidad de problemas, aunque sus so- luciones no sean bellas. Por lo tanto, es sorprenden- te que surjan estas felices ideas durante una prueba prendernos es Fernando Pastawski, nacido en 1982.
Aqu´ı mostramos algunas ideas que nos regal´ nando, elaboradas en tiempo de prueba. Problema 1. (Pretorneo de las Ciudades, 1998) En
Feliz idea 1. Formar la secuencia (con un n ´
un tablero de 5 × 5, del tipo del tablero de ajedrez, impar de t´erminos) de las casillas que recorre el pa- ballos de modo tal que no haya dos que se amena- Problema 2. (Olimp´ıada Matem´
atica Argentina,
cen. Demostrar que hay una sola ubicaci´ 1998) La compa ˜
para transportar varios containers con un peso to-tal de 50 toneladas. Cada container pesa a lo su- Soluci´
on. Podemos lograr que
ca de cu´al es la cantidad de containers; no se sa- be si los containers son todos iguales ni se sabecu´anto pesa cada uno. La carga total ser´a distri- 5 × 5. Numeramos las casillassiguiendo el recorrido del ca- buida en varios camiones, cada uno con capacidad m´axima para 5 toneladas, que har´an un viaje cada la carga ser´a transportada como corresponde? Soluci´
on. Llamemos p al n ´
Soluci´
on. Representemos a los containers co-
a su peso. Si colocamos estos segmentos so- tenemos un segmento mayor, de medida 50.
l´ınea une entre s´ı a tres de estos pares (si las paradas de una l´ınea son A, B, C, entonces esa l´ınea une Ay B, A y C, B y C).
Como todo par de l´ıneas tiene una parada encom ´ un, si fijamos una de las l´ıneas, todas las dem´as Dividimos el segmento mayor en 10 partes igua- les, haciendo 9 marcas. Si una marca cae dentro da y dos paradas que no pertenecen a la l´ınea fijada.
Hay p − 3 paradas que no pertenecen a la l´ınea fija- segmento. De este modo, separamos a lo sumo 9 segmentos. Los containers que corresponden a los segmentos que separamos pueden distribuirse en a para unir todos los pares de paradas que no est´an lo sumo dos camiones, 5 en uno y 4 en otro. El resto en la l´ınea fijada. No hay m´as l´ıneas que estas y la de los containers pueden distribuirse en 10 camio- nes, el primero con los containers que correspon-den a los segmentos ubicados antes de la primera marca, el segundo con los containers que corres- ponden a los segmentos ubicados entre la primera on equivale a 2p2 − 20p + 42 = 0, cuyas y la segunda marca, etc. Utilizamos as´ı a lo sumo soluciones son p = 7 y p = 3. Las dos son posibles.
2 + 10 = 12 camiones. Es imposible garantizar eltraslado con menos camiones. Por ejemplo, si hay on puede llevar un m´aximo de 7 containers, Feliz idea 3. Es usual en es-
por lo que son necesarios al menos 12 camiones.
Feliz idea 2. Visualizar los pesos de los containers
algo de dos maneras diferentes, para sacar conclu- Problema 4. (Rioplatense, 1998) Un tablero cua-
Problema 3. (Cono Sur, 1998) El alcalde de una ciu-
driculado de m × n se ha cubierto completamen- dad desea establecer un sistema de transportes con 2 × 1), que no se solapan ni sobresalen de los bor-des del tablero. Se consideran los cuadrados de ta- cada l´ınea pase exactamente por tres paradas; no 2 × 2 formados por cuatro casillas del tablero.
cada dos l´ıneas distintas tengan exactamente brean cada cuadrado de 2 × 2 puede ser 2, 3 ´ haya exactamente una l´ınea que pase por am- por exactamente dos piezas es mayor que el n ´ ro de cuadrados sombreados por cuatro piezas.
pueda recorrer el conjunto de las casillas marcadas, Soluci´
on. Por cada pieza de
es necesario que haya al menos 2n − 1 lados inte- riores. Cada lado interior puede tener orientaci´ horizontal o vertical. Por el principio del palomar, entre los 2n − 1 lados interiores, hay al menos n con En esta cuenta, los cuadradossombreados por exactamente Si trazamos todos los lados y lados interiores delpol´ıgono determinado por el conjunto de las casi- llas marcadas, dividimos al conjunto en 2n cuadra- dos unitarios. Cada vez que quitamos un lado inte- han contado cuadrados ficticios, con dos de sus ca- rior vertical, desaparecen dos rect´angulos de la for- sillas afuera de los l´ımites del tablero.
ma 1 × k y 1 × q, y aparece un nuevo rect´angulo dela forma 1 × (k + q). Es importante ver que por este Llamemos n2, n3, n4 al n ´umero de cuadrados som- procedimiento s´olo se obtienen figuras de la forma breados por 2, 3, 4 piezas, respectivamente. Sea e1 1 × m, lo que es cierto inicialmente, con la partici´ umero de cuadrados sombreados por 2 piezas, en cuadrados unitarios. Cada vez que quitamos un que se han contado dos veces, y e2 el n ´umero de lado interior vertical, la cantidad de rect´angulos se cuadrados ficticios que se han contado. El n ´ reduce en 1. Al quitar n lados interiores verticales, · 2 − e1 − e2. Es claro que e1 es igual a Feliz idea 5. Tener la osad´ıa de intentar la des-
piezas que cubren dos casillas del borde del tablero: Patricia Fauring — Flora Guti´errez Cilindros con la misma superficie lateral:
¿qu´e pasa con el volumen?
del tablero es (m − 1)(n − 1), de donde lumen del cilindro al cambiar el radio y la altura mientras se mantiene constante el ´area de la super-ficie laterEn matem´aticas es importante apren- der a hacer razonamientos acerca de las cantida- des involucradas en los problemas, y no solamente Feliz idea 4. Asociar a cada domin´
sombreados por dos o tres piezas, sin prestar aten- on a lo que ocurre con los cuadrados sombrea- braica nos permite ver con mayor claridad la rela- dos por cuatro piezas. Una vez m´as, est´a presente on entre las cantidades, y entender el porqu´e de la idea de contar la misma cosa de dos maneras dis- un resultado que a primera vista resulta sorpren- Problema 5. (Torneo de las Ciudades, 1999) En un
Materiales. Hojas de papel tama ˜
tablero gigante de ajedrez se han marcado 2n casi- hesiva, material de empaque o palomitas de ma´ız, llas de modo que la torre puede llegar a todas las casillas marcadas sin necesidad de pasar por algu- na casilla que no est´e marcada. Demostrar que la la longitud del lado corto y b a la longitud del la- figura formada por las casillas marcadas se puede do largo. Forma con la hoja un cilindro uniendo los lados largos del rect´angulo. Ahora corta una hoja Soluci´
on. Llamamos lado a la frontera entre dos ca-
sillas adyacentes, y lado interior a la frontera entre go). Extiende los dos rect´angulos y pega uno junto dos casillas marcadas adyacentes. Para que la torre al otro, para formar una sola tira rectangular. Con 1Este art´ıculo est´a basado en parte en material presentado por Glenda Lappan en la sesi´on inaugural de la reuni´on anual del National Council of Teachers of Mathematics, Chicago, abril de 2000.
esta tira de la mitad de alto y doble de largo se for- 2. As´ı, en principio, con la misma superficie lateral, ma un cilindro chaparro y ancho (figura 1). El cilin- dro est´a formado por la misma cantidad de papel, des como queramos. Este resultado es sorprenden- simplemente pegado de otra forma, por lo que la te y fascinante para muchos alumnos. El volumen superficie lateral es igual. En el primer caso la su- perficie lateral es a×b, y en el segundo caso 2a×b/2,de modo que son iguales. Pon el nuevo cilindro al- rededor del primero. Llena el cilindro alto de mate-rial de empaque o de palomitas de ma´ız. Al retirar el cilindro alto el contenido se vac´ıa en el otro, y ve- ¿Por qu´e se ven iguales? Nues-
Figura 1. Cilin-
Tabla 1. Relaciones entre las cantidades.
¿Por qu´e son diferentes los vol ´
umenes? El radio
Nota que en esta actividad trabajamos con cilin- dros sin tapa. Si bien la superficie lateral se mantie- ne constante, las tapas que faltan tienen ´areas cada vez m´as grandes conforme el cilindro se hace m´as chaparro. Un problema muy diferente es estudiar dro tendr´a un radio dos veces m´as grande, omo cambia el volumen de los cilindros mientras se mantiene constante toda la superfice exterior del cilindro, esto es, contando la superficie lateral y las dos tapas. En el caso de incluir las dos tapas, el vo- grande que para el cilindro anterior, y aunque la olo se tendr´an un intervalo de valores posi- altura se redujo a la mitad, el volumen es igual a bles, dentro del cual se alcanza un m´aximo.
Conclusi´
on. Una ventaja de estas actividades es
que los alumnos, sorprendidos por los resultados, Repite el proceso de formar un cilindro con la mis- men del cilindro, as´ı como el an´alisis de las canti- ma superficie lateral pero la mitad de alto. Cor- dades involucradas, y el uso de s´ımbolos algebrai- ta una hoja en cuatro franjas, y pega los cuatro rect´angulos para formar una tira de largo 4a y al- los alumnos aprendan a tratar con las cantidades tura b/4. Forma un nuevo cilindro, y ver´as que ´este como objetos matem´aticos que tienen inter´es por tiene un volumen todav´ıa m´as grande. El nuevo ra- que operamos para obtener un resultado.
Glenda T. Lappan — Alfinio Flores Pe ˜ otra vez el doble que el anterior. Vemos as´ı que ca-da vez que formamos un nuevo cilindro del doblede ancho y la mitad de alto, el volumen se duplica.
Puedes encontrar el Bolet´ın de FICOM en Internet: Esperamos tus comentarios y sugerencias sobre es- nes por medio de letras nos permite ver por qu´e el volumen se incrementa cada vez por un factor de

Source: http://zeta.math.utsa.edu/~hvz231/ficom9.pdf

Codelink 1278feb.pdf

President’s Report With another festive season behind us it’s hard to believe another year has passed and all of us will soon be looking forward to the 4th edition of ICD-10-AM training in the earlier part of 2004. For the past year I had the opportunity of working at the Sheikh Khalifa Medical Center (SKMC) in Abu Dhabi, one of the United Arab Emirates. That year gave me the opportunit

Pine forest health & safety policy

PINE FOREST PRE-PRIMARY SCHOOL (PTY) LTD HEALTH & SAFETY POLICY Table of contents 1. Table of contents. 21. PROTECTION OF CHILDREN AND CHILDREN'S RIGHTS. 52. PERIMETER AND ENTRANCE SAFETY. 53. DRIVEWAY AND DRIVING. 64. SECURITY SYSTEMS. 75. WINDOWS. 76. DOORS.87. FLOORS. 88. KITCHEN. 89. ELECTRICS & ELECTRICAL EQUIPMENT. 910. STORAGE. 911. OUTDOOR AND PLAY AREAS. 912. SWIMMING POO

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